Cách chứng minh tiếp tuyến của đường tròn

Các phương pháp chứng minh tiếp giác.

Có thể bạn quan tâm

Phương pháp chứng minh được sử dụng là:

Bạn đang xem: Cách chứng minh tiếp tuyến của đường tròn

Để chứng minh đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) ta sử dụng các phương pháp sau đây:.

Cách 1: Chứng minh khoảng cách từ O đến d bằng R. Nói một cách khác, chúng ta vẽ \[OH\bot d\] và chứng minh \[OH=R\].

Cách 2: Nếu biết đường thẳng d và (O) có một điểm giao là A, ta chỉ cần chứng minh \[OA\bot d\].

Trên đây là hai phương pháp chính, bên cạnh đó còn có những phương pháp sau đây.

Phương pháp thứ 3: Phương pháp này dựa trên vấn đề phụ sau đây:.

Khi đó, tia Ax là tia tiếp tuyến của đường tròn (O). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia Ax thỏa \[\widehat{xAB}=\widehat{ACB}\] (Ax cùng phía với tia AC đối với đường thẳng AB).

Phương pháp này thường được áp dụng để chứng tỏ rằng một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Chứng minh tiếp tuyến trong các bài toán cũng được sử dụng rộng rãi và phương pháp này là một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh các bài toán đảo. Ví dụ trên là một ví dụ thứ 3 cho phương pháp chứng minh tương đương.

II . Ví dụ về bài toán:

Khi C thay đổi, chứng minh rằng đường thẳng d qua M song song với AB luôn tiếp xúc với (O). Bài toán 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB. C là một điểm biến đổi trên đường tròn (O). Tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB tại D. Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với phân giác góc ODC, đường này cắt CD tại M.

Giải:.

Ta thấy rằng đường thẳng d và (O) chưa có giao điểm nào, do đó ta dùng cách 1 để giải bài toán này.

Vẽ \[OH\bot d(H\in d)\]. Chúng ta cần chứng tỏ OH = OC.

Ta có tam giác DMO đều tại D, suy ra \[\widehat{DMO}=\widehat{DOM}\]. Mà \[\widehat{HMO}=\widehat{DOM}\](So le trong).

Ta nên có \[\widehat{DMO}=\widehat{HMO}\].

Kết quả: Do đó, chúng ta có \[\Delta CMO=\Delta HMO\], dẫn đến OH = OC. Vì vậy d được xác định là tiếp tuyến của (O).

Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường tròn tâm O có đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và F. BF và CE cắt nhau tại I. Gọi M là điểm chính giữa AI. Chứng minh rằng MF là tiếp tuyến của đường tròn O.

Giải.

Ta thấy F là giao điểm của MF và (O). Ta sẽ sử dụng cách 2 để chứng minh. Tức là ta cần chứng minh \[\widehat{MFO}=90{}^\circ \].

Ta đã chứng minh được I là trung tâm của tam giác ABC.

MFA tam giác suy ra MFA cân tại M, suy ra góc MFA bằng góc FAM. Trong tam giác vuông AFI có FM là trung tuyến nên MF = FA = BI.

Chúng ta cũng có:.

Xem thêm : Cách chứng minh đường tròn nội tiếp tam giác và tính chất của nó

\[\Widehat{CFO}=\widehat{OCF}\].

(Tam giác OCF đều tại O).

Từ đó: \[\widehat{MFA}+\widehat{CFO}=\widehat{FAM}+\widehat{OCF}=90{}^\circ \]. Do đó \[\widehat{MFA}=90{}^\circ \] . Vì vậy \[FO\bot FM,F\in (O)\] nên MF là tiếp tuyến của (O).

III . Bài tập tự rèn luyện :.

Bài 1: Chứng minh CD là đường tiếp tuyến của vòng tròn tâm (O). Cho nửa vòng tròn tâm O đường kính AB. Ax, By là hai đường tiếp tuyến của (O) (Ax ,By cùng phía so với đường thẳng AB). Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho AC.BD = \[\frac{1}{4}.A{{B}^{2}}\].

Chứng minh HI là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính MI. Đường thẳng đi qua H và vuông góc với AB cắt đường tròn tại điểm C. Đường tròn có đường kính MB cắt đường CB tại điểm I. Trên đoạn AB chọn điểm M, và đặt H là trung điểm của đoạn AM. Bài 2: Cho nửa đường tròn có đường kính AB.

Tiếp tuyến của (O) là IC và ID. Chứng minh: Bài toán cho đường tròn (O) và điểm M trên đoạn OB. Vẽ đường thẳng qua M vuông góc với AB tại M, cắt (O) tại C và D. Kẻ AC cắt BD tại P, AD cắt BC tại Q, AB cắt PQ tại I. Ta cần chứng minh IC và ID là tiếp tuyến của (O).

Chứng minh PC là tiếp tuyến của đường tròn (O). Vẽ \[CH\bot AB(H\in AB)\]. Bài 4: Cho nửa vòng tròn tâm O đường kính AB, A thuộc nửa vòng tròn. M là trung điểm CH, BM cắt tiếp Ax của (O) tại P.

Tam giác AMN có chu vi bằng a, chọn điểm M và N trên các cạnh AB và AC của tam giác đều ABC có cạnh a tiếp xúc với đường tròn (O).

AC). Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường BC. Chứng minh rằng tứ giác ABCH là hình chữ nhật.

Chứng minh BM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Phân giác góc BAC cắt BC tại D và cắt (O) tại M.

Tiếp tuyến của vòng tròn bên ngoài tam giác ACE là OA. Chứng minh: Cho vòng tròn (O) và một điểm A nằm ngoài vòng tròn. Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là hai tiếp tuyến ). Gọi D là điểm đối xứng của B qua O, AD cắt (O) tại E.