Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong hình học không gian

1. Chứng minh rằng ba điểm nằm trên một đường thẳng trong không gian.

Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng là chúng ta chứng minh chúng cùng thuộc hai mặt phẳng, tức là cùng thuộc giao điểm của hai mặt phẳng đó.

Có thể bạn quan tâm

Xem lại Phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng trong không gian.

Bạn đang xem: Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong hình học không gian

cách chứng minh ba điểm thẳng hàng trong không gian

Nào vậy, để chứng minh 3 điểm $ A,B,C$ thẳng hàng. Ta chỉ ra ba điểm $ A,B,C$ cùng thuộc hai mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ nào đó. Tức là ta chỉ ra đường thẳng $ AB$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Sau đó chỉ ra điểm $ C$ cũng nằm trên giao tuyến này, hay nói cách khác chỉ ra $ C$ cũng là một điểm chung của cả hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Để chứng minh 3 điểm $ A,B,C$ thẳng hàng, ta chỉ ra ba điểm $ A,B,C$ cùng thuộc hai mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ nào đó. Tức là ta chỉ ra đường thẳng $ AB$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Sau đó chỉ ra điểm $ C$ cũng nằm trên giao tuyến này, hay nói cách khác chỉ ra $ C$ cũng là một điểm chung của cả hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.

2. Ví dụ chứng tỏ tính thẳng hàng trong hình học không gian.

Đường thẳng $D,E,F$ được chứng minh bằng cách sử dụng định lý Ceva.

chung minh thang hang trong khong gian

Ba điểm $D,E,F$ cùng thẳng hàng có nghĩa là chúng đều nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(\alpha)$. Rõ ràng, ba điểm $D,E,F$ thuộc cả hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(\alpha)$.

Ba điểm $ I, J, K $ nằm thẳng hàng. Chứng minh trên các đoạn $ SA, SB, SC $ lần lượt lấy các điểm $ A’,B’,C’ $ sao cho $ A’B’ $ cắt $AB$ tại $ I,A’C’$ cắt $AC$ tại $J,B’C’$ cắt $BC $ tại $ K. Cho hình chóp $ S.ABC $.

hinh chop chứng minh thang hang trong không gian

Hướng dẫn.

Một điểm chung của hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(A’B’C’)$ là $I$, là giao điểm của hai đường thẳng $A’B’$ và $AB$. Đồng thời, $AB$ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ và $A’B’$ nằm trong mặt phẳng $(A’B’C’)$.

Chứng minh tương tự có $ J,K$ cũng là điểm giao của hai mặt phẳng $ (ABC)$ và $ (A’B’C’)$.

Thẳng hàng $I, J, K$ cùng thuộc một đường thẳng, suy ra $J, J, K$ cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(A’B’C’)$.

Thẳng hàng $ M, N, K $ được chứng minh bằng cách sử dụng định lí hai mặt phẳng song song: Do $ AB $ cắt $ CD $ tại $ K $ nên ta có $ \angle BKC = \angle BAC $ (cùng nằm ở mặt phẳng $ (ABCD) $). Mặt khác, ta có $ \angle BAC = \angle SAM $ (cùng nằm ở mặt phẳng $ (ABM) $). Vậy ta suy ra $ \angle BKC = \angle SAM $, từ đó suy ra $ \angle BKC = \angle SAM = \angle KSN $ (do $ SC $ song song với $ AB $). Vậy $ M, N, K $ thẳng hàng.

hình chóp S.ABCD chứng minh thang hang trong không gian

Hướng dẫn.

Đầu ra: Chỉ ra được $ N$ chính là giao điểm của $ BI$ và $ SD$. Trong mặt phẳng $ (SAC)$, gọi $ I$ là giao điểm của $ SO$ và $ AM$. Trong mặt phẳng $ (ABCD)$, gọi $ O$ là giao điểm của $ AC$ và $ BD$.

Thẳng hàng $M,N,K$ khác, có nghĩa là $M,N,K$ không nằm trên cùng một đường thẳng. Suỵt ra, giao tuyến $MN$ của hai mặt phẳng $(ABM)$ và $(SCD)$ là $MN = \overline{MN}$. Vì vậy, $K$ nằm trên giao tuyến $MN$, hoặc $K \in MN$.

Chứng minh ba điểm $I, J, B$ thẳng hàng. Xác định giao điểm $I, J$ của $AN, MN$ với mặt phẳng $(SBD)$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $SC$. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành.

Hướng dẫn. Chỉ ra $ I,J,B $ cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng $ (ANB) $ và $ (SBD) $.

Chứng minh rằng bốn điểm $A, K, L, M$ nằm trên một đường thẳng. Tìm các điểm giao của $K, L$ giữa $IJ, DJ$ và $(SAC)$. Cho tứ giác hình chóp $S.ABCD$ có $I, J$ là hai điểm trên $AD, SB$. Giả sử $AD$ cắt $BC$ tại $O, OJ$ cắt $SC$ tại $M$.

Hướng dẫn. Chỉ ra bốn điểm đồng thời nằm trên đường giao tuyến của hai mặt phẳng $ (SAC) $ và $ (AJO) $.

Nguồn: https://piaggiotopcom.vn
Danh mục: Toán